全书共五部分，逐章讲述范畴论的基本内容。
Section 1 Galileo and multiplication of objects
四个世纪以前，伽利略对物体运动的问题感到疑惑，他试图弄明白一块丢出去的石头抑或是喷泉中喷出的水柱的精确运动过程。这个过程包括每一时刻物体的位置，这需要一组连续的画面去描述。我们称这种运动是一种从时间向空间的映射(map)。
你肯定也听过这个故事：伽利略将一重一轻的两个球从比萨斜塔上丢下，围观者惊讶地发现它们是同时落地 —— 这种对垂直方向运动的研究似乎过于特殊而无法对一般的运动过程提供启示，即使是小孩也会知道落石的轨迹是一条直线。
然而落石的运动并不简单，它在下落的过程中会加速，因此运动同样的路程时，后面要花费更少的时间，这也就是为什么伽利略集中在垂直运动这个特殊的情况下。
这存在一个式子：
试想太阳在头顶，对于空间中的每一个点你都会在水平面上找到一个投影点。这个投影将空间映射至一个平面。
再设想一根垂直线插入地面，对于空间中的每个点都能找到与这根线相对应的点，这线上相对应点与空间中的点处于相同的层。
合在一起，我们得到了：
以上两个映射似乎将每个问题分解成两个更简单的问题，一个为平面上的问题，一个为垂直线上的问题。如果一只鸟在飞翔，我们立刻就能通过投影和层高还原出它的空间位置。更进一步地，当你拥有这只鸟投影和层高的连续记录时，你可以还原出它的整个飞行过程，所以不仅位置可以被简化成投影和层高，运动过程也可以。
我们将这些映射组合在一起：
空间可以通过如上映射分解：
至此，空间变量已经从图上消失了。
伽利略的发现表明通过两个更简单的运动可以描述一个更复杂的运动。事实上，如果投影和层高的变化是连续的（也就说说阴影或层高不会突然地从一个地方消失后从另一个地方突然出现的话)，那么鸟的运动也是连续的。这一发现使伽利略能将运动简化为之前提到的“特殊”情况。
那么通过以上两个映射组成的式子