这个问题需要从实数定义出发，其中包含对进制的讨论。此处采用柯西序列方法从有理数构造实数，不过在了解柯西序列前先了解如下几个定义。

有理数序列

定义

设是一个整数，有理数序列是一个从集合 到 的函数，记做 。

例如：

性质

为了区分哪些有理数序列是收敛的，定义以下两个性质，其中 ：

1. （ -稳定性）：序列 是 -稳定的，当且仅当对于任意的 、 均满足 。
2. （最终 -稳定性）：序列 是 最终 -稳定的，当且仅当存在一个 使得对于任意的 均满足 。

对于以上两个性质的区别有下述几个例子：

可以看出， -稳定性概念很简单，但对序列「前部」的数字过于敏感，以至于在 这个序列中取任何一个 都不是 -稳定的，尽管它几乎立刻收敛于0。

柯西序列

定义

当且仅当对于任意 ，存在一个 使得 对于所有的 均成立的有理数序列为柯西序列。即对于任意有理数 都是最终 -稳定的有理数序列。

一个（非正式的）例子：

该序列是1-稳定的，如果删掉第一个数字 ，那么剩下的序列是 -稳定的，这意味着原来的序列是最终 -稳定的。继续删除下一个数字 ，那么原来的序列就是最终 -稳定的，以此类推，好像有如下结论成立：这个序列实际上对任意 都是最终 -稳定的，这说明该序列是一个柯西序列。

等价的柯西序列

我们必须在没有定义实数的前提下得知有理数的两个柯西序列什么时候会给出相同的极限。

两个定义

1. （-接近的序列）：设 和 是两个序列，当且仅当对于任意 均有 是 -接近于 的。
2. （最终 -接近的序列）：设 和 是两个序列，当且仅当存在一个 ，使得 是 -接近于 的。

等价的定义

对于每一个有理数 ，序列 和 是最终-接近的。