基础结论
整理少量基础结论。
- 狄利克雷函数 :
一、由一点可导可得在该点连续。
一点可导,可知下极限存在:
由极限性质,分母极限存在,分子极限存在,由连续定义可判断该点连续。
二、一点连续,不存在一个去心邻域连续,一点连续不能代表去心邻域的情况,仅能表示某个去心邻域的趋势。
反例,其中 为狄利克雷函数:
该函数仅仅在点处连续,其余处均不连续。
三、一点连续,不能推出该点可导,区间 处处连续,不能推出区间 可导。
反例,魏尔斯特拉斯函数:
对于此函数处处连续且不可导
四、 在一点处导数 只能推出存在一个去心邻域 ,左侧小(大)于该点,右侧大(小)于该点,而不是单调递增(减)。
由导数定义:
假设 ,由极限保号性可知
在左侧邻域, , 则 ,右侧相反,则是左侧邻域内函数值小于 ,右侧邻域内函数值大于 ,对于导数值小于 方法相同。