一点导数与去心邻域的关系

基础结论

整理少量基础结论。

  1. 狄利克雷函数

一、由一点可导可得在该点连续。

  • 连续定义
  • 导数定义

一点可导,可知下极限存在:

由极限性质,分母极限存在,分子极限存在,由连续定义可判断该点连续。

二、一点连续,不存在一个去心邻域连续,一点连续不能代表去心邻域的情况,仅能表示某个去心邻域的趋势。

反例,其中 为狄利克雷函数:

该函数仅仅在点处连续,其余处均不连续。

三、一点连续,不能推出该点可导,区间 处处连续,不能推出区间 可导。

反例,魏尔斯特拉斯函数

对于此函数处处连续且不可导对于此函数处处连续且不可导

四、 在一点处导数 只能推出存在一个去心邻域 ,左侧小(大)于该点,右侧大(小)于该点,而不是单调递增(减)。

由导数定义:

假设 ,由极限保号性可知

在左侧邻域, , 则 ,右侧相反,则是左侧邻域内函数值小于 ,右侧邻域内函数值大于 ,对于导数值小于 方法相同。